【高中数学三次函数公式】在高中数学中，三次函数是重要的代数内容之一。它不仅在函数图像分析、极值求解等方面有广泛应用，也是后续学习导数和积分的基础。本文将对高中阶段涉及的三次函数相关公式进行总结，并以表格形式清晰呈现。
一、三次函数的基本概念
三次函数的一般形式为：
$$
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \quad (a \neq 0)
$$
其中：
- $ a $、$ b $、$ c $、$ d $ 是常数；
- $ a \neq 0 $，否则函数退化为二次或一次函数。
二、三次函数的性质
| 性质 | 内容 |
| 定义域 | $ (-\infty, +\infty) $ |
| 值域 | $ (-\infty, +\infty) $（当 $ a > 0 $ 时） 或 $ (+\infty, -\infty) $（当 $ a < 0 $ 时） |
| 单调性 | 可能存在两个极值点（极大值与极小值） |
| 对称性 | 一般不具有对称性，但某些特殊三次函数可能有中心对称性 |
| 图像形状 | 通常呈“S”形或“反S”形，根据系数不同而变化 |
三、三次函数的根与因式分解
1. 根的个数
三次方程 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ 在实数范围内最多有三个实根，可能为：
- 三个不同的实根；
- 一个实根和两个共轭复根；
- 一个三重实根（即所有根相同）。
2. 因式分解方法
若已知一个实根 $ x_0 $，则可利用多项式除法将其分解为：
$$
ax^3 + bx^2 + cx + d = (x - x_0)(Ax^2 + Bx + C)
$$
其中 $ A = a $，$ B $、$ C $ 可通过长除法或待定系数法求得。
四、三次函数的极值点公式
设三次函数为 $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $，其导数为：
$$
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
$$
令 $ f'(x) = 0 $，得到二次方程：
$$
3ax^2 + 2bx + c = 0
$$
其解为：
$$
x = \frac{-2b \pm \sqrt{(2b)^2 - 4 \cdot 3a \cdot c}}{2 \cdot 3a} = \frac{-2b \pm \sqrt{4b^2 - 12ac}}{6a}
$$
简化后为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a}
$$
这两个解分别对应函数的极大值点和极小值点（视 $ a $ 的正负而定）。
五、三次函数的图像特征
| 特征 | 描述 |
| 趋势 | 当 $ x \to +\infty $，若 $ a > 0 $，$ f(x) \to +\infty $；若 $ a < 0 $，$ f(x) \to -\infty $。 当 $ x \to -\infty $，反之亦然。 |
| 极值点 | 有两个极值点（若判别式大于0），分别为极大值和极小值 |
| 零点 | 最多三个实数零点，具体取决于判别式 |
| 拐点 | 存在一个拐点，即二阶导数为零的点 |
六、常用公式总结表
| 公式名称 | 公式表达 |
| 三次函数一般式 | $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ |
| 导数 | $ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c $ |
| 极值点公式 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a} $ |
| 三次方程根 | $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ |
| 因式分解 | 若 $ x_0 $ 是根，则 $ f(x) = (x - x_0)(Ax^2 + Bx + C) $ |
七、结语
三次函数作为高中数学的重要内容，其公式和性质在解题和图像分析中具有广泛的应用价值。掌握这些基本公式和特性，有助于提高学生对函数的理解能力和解题技巧。希望本文能够帮助同学们更好地理解和运用三次函数的相关知识。
