【求arctanx的麦克劳林展开式求详细过程】在数学分析中，麦克劳林展开式是泰勒展开式在 $ x = 0 $ 处的特例。对于函数 $ \arctan x $，我们可以通过已知的导数或积分方法来推导其麦克劳林展开式。下面将详细展示这一过程，并以表格形式总结关键步骤和结果。

一、基本思路

我们知道：

$$

\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

$$

而 $ \frac{1}{1 + x^2} $ 可以表示为一个几何级数的形式，当 $ x < 1 $ 时成立：

$$

\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}

$$

接下来对这个级数进行逐项积分，可以得到 $ \arctan x $ 的麦克劳林展开式。

二、具体推导过程

1. 从导数出发：

$$

\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

$$

2. 展开导数表达式：

$$

\frac{1}{1 + x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}, \quad x < 1

$$

3. 对导数表达式积分：

$$

\arctan x = \int_0^x \frac{1}{1 + t^2} dt = \int_0^x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n} dt

$$

4. 交换积分与求和顺序（在收敛范围内）：

$$

\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_0^x t^{2n} dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}

$$

5. 最终展开式：

$$

\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}

$$

三、总结表格

四、注意事项

- 上述展开式仅在 $ x \leq 1 $ 内成立。

- 当 $ x = 1 $ 或 $ x = -1 $ 时，该级数仍然收敛（条件收敛）。

- 这个展开式在计算近似值、数值积分等方面有广泛应用。

通过上述过程，我们得到了 $ \arctan x $ 的麦克劳林展开式，并对其结构进行了清晰的展示。这种展开方式不仅理论严谨，而且在实际应用中非常实用。