【大学微积分必背公式】在大学微积分的学习过程中，掌握一些核心的公式对于解题和理解概念至关重要。这些公式不仅是考试中的高频考点，也是后续学习高等数学、物理、工程等学科的基础。以下是对大学微积分中常用公式的总结，便于学生记忆和复习。
一、基本求导公式
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $（$ a > 0 $） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、基本积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ f(x) = x^n $（$ n \neq -1 $） | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
三、常用极限公式
| 极限表达式 | 结果 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ | $ 1 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} $ | $ 1 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} $ | $ 1 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} $ | $ \frac{1}{2} $ |
| $ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x $ | $ e $ |
四、微分法则与积分技巧
微分法则：
- 乘积法则：$ (uv)' = u'v + uv' $
- 商法则：$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
- 链式法则：$ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
积分技巧：
- 换元积分法（第一类）：令 $ u = g(x) $，则 $ \int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du $
- 分部积分法：$ \int u dv = uv - \int v du $
五、泰勒展开与麦克劳林展开
| 函数 | 泰勒展开（在 $ x=0 $ 处） | ||
| $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | ||
| $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $（$ | x | < 1 $） |
六、重要定理简述
- 罗尔定理：若函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $ f(a) = f(b) $，则至少存在一点 $ c \in (a,b) $，使得 $ f'(c) = 0 $。
- 拉格朗日中值定理：若函数 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，则存在 $ c \in (a,b) $，使得 $ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $。
- 牛顿-莱布尼兹公式：$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $，其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数。
总结
大学微积分的核心内容围绕导数、积分、极限、微分法则及重要定理展开。掌握上述公式和定理不仅有助于提高解题效率，还能加深对微积分理论的理解。建议在学习过程中结合例题练习，逐步建立起系统的知识框架。
