【三角函数的公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了便于理解和应用，以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本定义
三角函数通常基于直角三角形或单位圆来定义，主要包括以下六个基本函数：
| 函数名称 | 定义式（直角三角形） | 定义式（单位圆） |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | y |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | x |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | y/x |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 | x/y |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 | 1/x |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 | 1/y |
二、常用公式汇总
1. 基本恒等式
| 公式 | 内容 |
| 平方恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与正割 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ |
| 余切与余割 | $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
2. 诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
3. 和差角公式
| 公式 | 内容 |
| $ \sin(A \pm B) $ | $ \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| $ \cos(A \pm B) $ | $ \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| $ \tan(A \pm B) $ | $ \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
4. 倍角公式
| 公式 | 内容 |
| $ \sin(2A) $ | $ 2\sin A \cos A $ |
| $ \cos(2A) $ | $ \cos^2 A - \sin^2 A $ 或 $ 2\cos^2 A - 1 $ 或 $ 1 - 2\sin^2 A $ |
| $ \tan(2A) $ | $ \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} $ |
5. 半角公式
| 公式 | 内容 |
| $ \sin\left(\frac{A}{2}\right) $ | $ \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} $ |
| $ \cos\left(\frac{A}{2}\right) $ | $ \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $ |
| $ \tan\left(\frac{A}{2}\right) $ | $ \frac{\sin A}{1 + \cos A} $ 或 $ \frac{1 - \cos A}{\sin A} $ |
三、特殊角度的三角函数值
| 角度（°） | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| sinθ | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cosθ | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tanθ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | 无意义 |
四、总结
三角函数的公式繁多，但它们之间存在紧密的联系，可以通过基本定义和恒等式相互推导。掌握这些公式不仅有助于解题，还能提升对三角函数整体结构的理解。在实际应用中，建议结合图形辅助记忆，并通过练习不断巩固。
如需进一步了解三角函数的应用实例或与其他数学知识的关联，可继续深入学习相关章节。
